Oral X-PC 2017 : fof=cos + bonus + défi (sup/L1)
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Publicado 2024-07-19
+ bonus
+ défi X--MP 2023 en fin de vidéo
00:00 Introduction et énoncé
01:52 Solution question 1)
03:56 Solution question 2)
06:35 Bonus : cas continu
09:09 Défi : X-MP 2023 trace et exponentielles de matrices
Todos los comentarios (10)
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Salut Roch super exo comme d'hab :) Pour la question bonus (f seulement continue) je pense qu'il faut creuser un peu plus car f est monotone sur [0,pi/2] mais pas à valeurs dans cet intervalle, donc pour fof on ne peut pas conclure si vite qu'elle est croissante. Comme contre-exemple, on a justement cos o cos qui est décroissante sur [pi/2, pi] alors que cos est monotone sur cet intervalle. A+ et continue tes vidéos, perso je me régale à les regarder !
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Dans une optique 100% psychorigide et très rock and roll, ce serait drôle de ne présenter que la Q 2.
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Supers exos comme d'hab! Merci beaucoup pour toutes ces videos. Pour la question bonus j'ai utilisé la corde plutôt que la dérivée et il me semble que ça marche bien aussi comme solution alternative.
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Bien joué :)
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Pour la question 2 des traces d’exp, le résultat semble dire que l’inégalité est atteinte pour A et B qui commutent, l’idée est alors de parcourir les classes de similitudes orthogonales pour orthocodiagonaliser les deux matrices :considérer l’application qui a P associe tr(exp(A+PBPt)) atteint un max sur OnR et un theoreme sur les extrema liés (l’espace tangent à OnR en une matrice C est C*AnR) permettent de s’en sortir.
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Pour que l soit unique il faut que la fct soit strictement monotone
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1/ exp(A) et exp(B) sont dans Sn++ (on orthodiagonalise et on utilise la caractérisation par les valeurs propres), puis en utilisant la racine carrée S de exp(A), on écrit Tr(exp(A)exp(B)) = Tr(S*exp(B)*S) > 0 car S*exp(B)*S est dans Sn++
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Cest fini les oraux pour moi baaaaaaaaaaaa
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exp(A+B) = I + A + B à l'ordre 2 et exp(A).exp(B) = I+ A + B + AB AB symétrique de trace positive ce qui garanti une augmentation de trace au final tr(exp(A).exp(B)) > tr(exp(A+B)) Récurrence du produit sur la somme directe😆 , qui augmente les traces successives ( cqfd )😐
